El Cálculo Integral incluía
además de la integración de funciones, los problemas y la teoría
de las ecuaciones diferenciales, el cálculo variacional, la
teoría de funciones especiales, etc.Tal formulación general
creció inusualmente rápido.
Euler necesitó en los años 1768 y 1770 tres grandes volúmenes
para dar una exposición sistemática de él.
Según Euler el Cálculo Integral constituía un método de búsqueda, dada la relación entre los diferenciales o la relación entre las propias cantidades. La operación con lo que esto se obtenía se denominaba integración. El concepto primario de tal Cálculo, por supuesto, era la integral indefinida. El propio Cálculo tenía el objetivo de elaborar métodos de búsqueda de las funciones primitivas para funciones de una clase lo más amplia posible.
Según Euler el Cálculo Integral constituía un método de búsqueda, dada la relación entre los diferenciales o la relación entre las propias cantidades. La operación con lo que esto se obtenía se denominaba integración. El concepto primario de tal Cálculo, por supuesto, era la integral indefinida. El propio Cálculo tenía el objetivo de elaborar métodos de búsqueda de las funciones primitivas para funciones de una clase lo más amplia posible.
Los logros principales
en la construcción del Cálculo Integral inicialmente pertenecieron
a J. Bernoulli y después a Euler, cuyo aporte fue inusitadamente
grande. La integración llevada por este último hasta sus últimas
consecuencias y las cuadraturas por él encontradas, todavía
constituyen el marco de todos los cursos y tratados modernos
sobre Cálculo Integral, cuyos textos actuales son sólo modificaciones
de los tratados de Euler en lo relativo al lenguaje. Estos juicios
se confirman con la revisión concreta del famoso Cálculo Integral
de Euler y su comparación con los textos actuales.
Euler, partiendo del concepto
de integral indefinida como básico, introdujo un sistema completo
de definiciones. La integral,
junto con una constante aditiva arbitraria, la denominó total.
La fijación de una constante arbitraria conducía a una integral
parcial. El valor de esta última, para cierto valor determinado
del argumento, daba el equivalente a la integral definida. Esta
sucesión armoniosa resultó imposible de mantener en las cuestiones
aplicadas. El necesario cambio del símbolo de Leibniz
para el caso de la integración
definida tampoco fue encontrado inmediatamente. El símbolo al
que estamos acostumbrados y que ya nos parece tan natural
fue encontrado por Founier sólo en los años 1819-1822.
En el curso del desarrollo
del Cálculo Integral surgió una serie de problemas de
carácter especial. Los esfuerzos en su resolución condujeron
a la elaboración de nuevas ramas del Análisis Matemático, estas
últimas, tarde o temprano se separaron de su fuente inicial,
el Cálculo Integral del siglo XVIII.
El cálculo de integrales
de tipos especiales ya a comienzos de siglo conllevó
al descubrimiento de una serie de resultados de la teoría de
las funciones especiales como por ejemplo la Función Beta
Y la función Gamma