Función primitiva o antiderivada
Función primitiva de una función dada f(x), es otra función F(x) cuya derivada es la función dada.
F'(x) = f(x)
Si una función f(x) tiene primitiva, tiene infinitas primitivas, diferenciándose todas ellas en una constante.
[F(x) + C]' = F'(x) + 0 = F'(x) = f(x)
Integral indefinida
Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función.
Se representa por ∫ f(x) dx.
Se lee : integral de x diferencial de x.
∫ es el signo de integración.
f(x) es el integrando o función a integrar.
dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.
C es la constante de integración y puede tomar cualquier valor numérico real.
Si F(x) es una primitiva de f(x) se tiene que:
∫ f(x) dx = F(x) + C
Para comprobar que la primitiva de una función es correcta basta con derivar.
Línealidad de la integral indefinida
1. La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de esas funciones.
∫[f(x) + g(x)] dx = ∫ f(x) dx +∫ g(x) dx
2. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.
∫ k f(x) dx = k ∫f(x) dx
Integrales de tabla
A continuación se encontrarán las integrales de tabla, estás pueden tomarse como ya establecidas.
Integrales de tabla
A continuación se encontrarán las integrales de tabla, estás pueden tomarse como ya establecidas.
A continuación analizaremos métodos para el calculo de anti- derivadas de funciones que no son integrables a simple vista.
*Método de sustitución o cambio de variable
El método se basa en identificar una parte de
lo que se va a integrar con una nueva variable t, de modo que se obtenga una
integral más sencilla.
Pasos para integrar por sustitución
1)Se hace el cambio de variable y se
diferencia en los dos términos:
Se despeja u y dx, sustituyendo en la
integral:
2) Si la integral resultante es más sencilla,
procedemos a integrar:
3) Se vuelve a la variable inicial:
*Método de Integración por partes:
El método de integración por partes permite calcular la integral de un producto de dos funciones aplicando la fórmula: ∫ u v`dx= uv -∫ u`v dx Las funciones logarítmicas “arco” y polinomicas se eligen como u. Las funciones exponenciales y trigonométricas del tipo seno y coseno se eligen como v`
desde un punto de vista didáctico se requiere usar la palabra ILATE para identificar quien será U, sabiendo que:
I (INVERSAS)
L (LOGARÍTMICAS
A (ALGEBRAICAS)
T (TRIGONOMÉTRICAS)
E (EXPONENCIALES)
quien aparezca de primero será u, esto facilita las cosas para los estudiantes en el sentido de que puede identificar mejor las variables a usar con respecto a que tipo de función se trabaje.
*Método de fracciones parciales
El método de las fracciones parciales consiste en descomponer un cociente de polinomios en una suma de fracciones de polinomios de menor grado.
Se utiliza principalmente en cálculo integral. El requisito más importante es que el grado del polinomio del denominador sea estrictamente mayor que el del numerador.
Casos de fracciones parciales
caso 1
caso 2
caso 3
caso 4
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